Geometry (Ancient Greek; geo- "earth", -metri "measurement") "Earth-measuring" is a branch of mathematics concerned with questions of shape, size, relative position of figures, and the properties of space. Geometry is one of the oldest mathematical sciences. Initially a body of practical knowledge concerning lengths, areas, and volumes, in the 3rd century BC geometry was put into an axiomatic form by Euclid, whose treatmentEuclidean geometryset a standard for many centuries to follow. Archimedes developed ingenious techniques for calculating areas and volumes, in many ways anticipating modern integral calculus. The field of astronomy, especially mapping the positions of the stars and planets on the celestial sphere and describing the relationship between movements of celestial bodies, served as an important source of geometric problems during the next one and a half millennia. A mathematician who works in the field of geometry is called a geometer. The earliest recorded beginnings of geometry can be traced to ancient Mesopotamia, Egypt, and the Indus Valley from around 3000 BCE. Early geometry was a collection of empirically discovered principles concerning lengths, angles, areas, and volumes, which were developed to meet some practical need in surveying, construction, astronomy, and various crafts. The earliest known texts on geometry are the Egyptian Rhind Papyrus and Moscow Papyrus, the Babylonian clay tablets, and the Indian Shulba Sutras, while the Chinese had the work of Mozi, Zhang Heng, and the Nine Chapters on the Mathematical Art, edited by Liu Hui. South of Egypt the ancient Nubians established a system of geometry including early versions of sun clocks. | La géométrie (du grec ancien geo- " terre ", -metri " mesure ") est une branche des mathématiques qui étudie la forme, la taille, la position relative des figures et les propriétés de l'espace. C'est l'une des plus anciennes sciences mathématiques. Initialement un ensemble de connaissances pratiques concernant les longueurs, les aires et les volumes, la géométrie fut formalisée sous forme axiomatique par Euclide au IIIe siècle avant J.-C., dont la géométrie euclidienne fit autorité pendant de nombreux siècles. Archimède développa des techniques ingénieuses pour calculer les aires et les volumes, anticipant à bien des égards le calcul intégral moderne. L'astronomie, et plus particulièrement la cartographie des positions des étoiles et des planètes sur la sphère céleste et la description des relations entre les mouvements des corps célestes, constitua une source importante de problèmes géométriques pendant les mille cinq cents années suivantes. Un mathématicien spécialisé en géométrie est appelé un géomètre. Les premières traces écrites de la géométrie remontent à l'ancienne Mésopotamie, à l'Égypte et à la vallée de l'Indus, vers 3000 avant notre ère. La géométrie primitive était un ensemble de principes découverts empiriquement concernant les longueurs, les angles, les aires et les volumes, développés pour répondre à des besoins pratiques en arpentage, construction, astronomie et dans divers artisanats. Parmi les plus anciens textes connus sur la géométrie figurent les papyrus égyptiens de Rhind et de Moscou, les tablettes d'argile babyloniennes et les Shulba Sutras indiens. Les Chinois, quant à eux, possèdent les œuvres de Mozi, de Zhang Heng et les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, édités par Liu Hui. Au sud de l'Égypte, les anciens Nubiens ont établi un système géométrique comprenant des versions primitives d'horloges solaires. | Geometrie (zu deutsch "Vermessung der Erde") ist sicher eine der ältesten Wissenschaften. Überall dort, wo Ausgrabungen Geschichten prähistorischer Kulturen in unsere Zeit sprechen lassen, erzählen sie auch eine Geschichte der Geometrie: regelmäßig oder symmetrisch geformte, bemalte oder angeordnete Alltags-, Gebrauchs-, oder Ritualgegenstände, zeugen von dem Erkennen und Übertragen geometrischer Strukturen, die sich vielfältig in der Natur finden lassen. Kugelähnliche Tongefäße lassen sich bei gleichem Fassungsvermögen materialsparender und stabiler herstellen wie quaderförmige, die sich dafür besser schlichten lassen. Anhand von Gestirnen kann man sich orientieren und bei Malereien in Höhlen und auf Ton erkennt man Menschen, Tiere und Landschaften wieder, wenn man sie so verkleinert darstellt, dass die Proportionen erhalten bleiben. Auch die mit den ersten Hochkulturen entstehenden Schriftsprachen überliefern geometrisches Wissen aus Baukunst, Handwerk, Landwirtschaft und Astronomie. So konnte man in Ägypten nicht nur geradlinig begrenzte Flächen in rechtwinklige Dreiecke und diese wiederum in Rechtecke flächengleich umwandeln, auch die Formel für das Volumen allgemeiner Pyramidenstümpfe war bekannt. Die Umsetzung dieser Kenntnisse in Bauwerken wie den Pyramiden von Gizeh (ca. 2900 v. Chr.) beeindrucken noch heute. Die Griechen begannen die geometrische Aussagen zu hinterfragen. In Streitgesprächen wurden immer schärfere Maßstäbe angelegt, immer mehr wurde hinterfragt und man begann Argumente auf logische Fehler zu untersuchen. Diese konstruktive Skepsis machte auch vor der Geometrie nicht halt und führte in ihrer Präzisierung zum einen zu den berühmten Beweisen von Pythagoras und seinen Schülern und zum anderen zu der Formulierung der Euklidschen Geometrie. | Geometria (dal greco antico; geo- "terra", -metri "misura") "misurazione della Terra" è una branca della matematica che si occupa di questioni di forma, dimensione, posizione relativa delle figure e proprietà dello spazio. La geometria è una delle più antiche scienze matematiche. Inizialmente un insieme di conoscenze pratiche riguardanti lunghezze, aree e volumi, nel III secolo a.C. la geometria fu formalizzata in termini assiomatici da Euclide, il cui trattamento, la geometria euclidea, stabilì uno standard per molti secoli a venire. Archimede sviluppò ingegnose tecniche per il calcolo di aree e volumi, anticipando per molti aspetti il moderno calcolo integrale. Il campo dell'astronomia, in particolare la mappatura delle posizioni di stelle e pianeti sulla sfera celeste e la descrizione delle relazioni tra i movimenti dei corpi celesti, fu un'importante fonte di problemi geometrici durante il millennio e mezzo successivo. Un matematico che lavora nel campo della geometria è chiamato geometra. Le prime testimonianze documentate di geometria risalgono all'antica Mesopotamia, all'Egitto e alla valle dell'Indo, intorno al 3000 a.C. La geometria primitiva era un insieme di principi scoperti empiricamente riguardanti lunghezze, angoli, aree e volumi, sviluppati per soddisfare esigenze pratiche in ambito topografico, edile, astronomico e in diverse attività artigianali. I testi più antichi conosciuti sulla geometria sono il Papiro di Rhind e il Papiro di Mosca egizi, le tavolette d'argilla babilonesi e gli Shulba Sutra indiani, mentre i cinesi possedevano le opere di Mozi, Zhang Heng e i Nove Capitoli sull'Arte Matematica, curati da Liu Hui. A sud dell'Egitto, gli antichi Nubiani svilupparono un sistema geometrico che includeva le prime forme di orologi solari. | La geometría (del latín geometria, que proviene del idioma griego geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (incluyendo paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).
Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).
Es razonable pensar que el origen de la geometría surge con los primeros pictogramas que traza el hombre primitivo pues, seguramente, clasificaba aun de manera inconsciente lo que le rodeaba según su forma. En la abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento informal e intuitivo a la geometría. Así parece confirmarlo la ornamentación esquemática abstracta en vasijas de cerámica y otros utensilios.
Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geométricos de carácter eminentemente práctico. La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, como admitieron Heródoto, Estrabón y Diodoro, que aceptaban que los egipcios habían "inventado" la geometría y la habían enseñado a los griegos; aunque lo único que ha perdurado son algunas fórmulas -o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de "receta"- para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Con ellas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De allí el nombre geometría: "medición de la tierra" (de gê 'tierra' más metría, 'medición').
Los denominados Papiro de Ahmes y Papiro de Moscú muestran conjuntos de métodos prácticos para obtener diversas áreas y volúmenes, destinados al aprendizaje de escribas. Es discutible si estos documentos implican profundos conocimientos o representan en cambio todo el conocimiento que los antiguos egipcios tenían sobre la geometría.
La Geometría Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y mesopotámica, y da un paso de abstracción al considerar los objetos como entes ideales -un rectángulo ideal, en lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo, etc.- que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de regla y compás. Aparece por primera vez la demostración como justificación de la veracidad de un conocimiento aunque, en un primer momento, fueran más justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales.
Tales permaneció en Egipto una larga temporada de su vida, aprendiendo de los conocimientos de sacerdotes y escribas. Fue el primero en ser capaz de calcular la altura de las Pirámides de Egipto. Para ello midió su propia altura, y en el preciso momento en el que su sombra medía exactamente la misma cantidad, mandó a marcar la sombra del vértice de la Gran Pirámide. De esa forma pudo calcular exactamente cuál era su altura.1 También se le atribuye la predicción de un eclipse solar.
La figura de Pitágoras y de la secta por él creada: los pitagóricos, tiene un papel central, pues eleva a la categoría de elemento primigenio el concepto de número (filosofía que de forma más explícita o más implícita, siempre ha estado dentro de la Matemática y de la Física), arrastrando a la Geometría al centro de su doctrina -en este momento inicial de la historia de la Matemática aún no hay una distinción clara entre Geometría y Aritmética-, y asienta definitivamente el concepto de demostración (éste ya sí coincide con el concepto de demostración formal) como única vía de establecimiento de la verdad en Geometría.
Esta actitud permitió (aun fuera de la secta) la medición del radio de la Tierra por Eratóstenes, así como la medición de la distancia a la Luna, y la investigación y establecimiento de la teoría de las palancas, por Arquímedes, varios siglos después.
En el seno de la secta de los pitagóricos surge la primera crisis de la Matemática: la aparición de los inconmensurables, pero esta crisis es de carácter más aritmético que geométrico.
Surge entonces un pequeño problema de Lógica, que consiste en lo siguiente: una demostración parte de una o varias hipótesis para obtener un resultado denominado tesis. La veracidad de la tesis dependerá de la validez del razonamiento con el que se ha extraído (esto será estudiado por Aristóteles al crear la Lógica) y de la veracidad de las hipótesis. Pero entonces debemos partir de hipótesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder determinar la veracidad de las hipótesis, habrá que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipótesis deberemos también comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las hipótesis se convierten en tesis a probar.
Euclides, vinculado al Museo de Alejandría y a su Biblioteca, zanja la cuestión al proponer un sistema de estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducir de ellas todos los demás resultados. Su sistema se sintetiza en su obra cumbre, Los elementos, modelo de sistema axiomático-deductivo. Sobre tan sólo cinco postulados y las definiciones que precisa construye toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el momento. Su obra, en trece volúmenes, perdurará como única verdad geométrica hasta entrado el siglo XIX.
Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto postulado) que trae problemas desde el principio. No se ponía en duda su veracidad, pero tal y como aparece expresado en la obra, muchos consideran que seguramente podía deducirse del resto de postulados. Durante los siguientes siglos, uno de los principales problemas de la Geometría será determinar si el V postulado es o no independiente de los otros cuatro, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema, es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de resultados de la obra.
Los historiadores antiguos nos relataron que el conocimiento de esta civilización sobre geometría -así como los de las culturas mesopotámicas- pasó íntegramente a la cultura griega a través de Tales de Mileto, los pitagóricos y, esencialmente, de Euclides.
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías. |